Analytical Solutions of Mathematical Models of Complex Heat Transfer

Issue number 3 from 27.05.2025

В математических моделях аналитической теплофизики задачи нестационарной теплопроводности с граничным условием вида (d t /n n) Г = h( t) рт IГ -Tc (t)!, t > 0 занимают особое место и относятся к сложному теплообмену вследствие зависимости относительного коэффициента теплообмена h = a/V от времени: h = а(t)/V = h(t) (а-коэффициент теплообмена, λ∗ - коэффициент теплопроводности) [1]. Считается, что α определяется только температурным напором. Однако эксперименты показывают [2-4], что в нестационарных процессах α является неравновесной величиной и значительно более существенно зависит от времени, чем от температуры. Учитывая, что его практическое определение весьма затруднительно, во всех критериальных уравнениях теплоотдачи он принимается постоянной величиной а = const( h = а/Х* = const). В этом случае становится возможным получать точные аналитические решения соответствующих задач теплопроводности в виде интегралов Фурье-Ханкеля для частично ограниченных областей или в виде рядов Фурье-Ханкеля для ограниченных областей канонического типа. Для этих целей разработаны специальные таблицы, вошедшие в теплофизику как таблицы Карташова № (1-2), позволяющие в считаные минуты по специальной методике в № 1 выписать точное аналитическое решение тепловой задачи [5-6] в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат и далее улучшить решение в виде ряда по методике в № 2 до абсолютной и равномерной сходимости вплоть до границы области определения дифференциального уравнения теплопроводности. В случае зависимости коэффициента h от времени (h = h(t)) ситуация с нахождением аналитического решения задачи резко меняется: точное решение получить не удается. Трудность заключается в том, что, оставаясь в рамках классических методов математической физики [7-9], не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с граничным условием теплообмена при переменном h( t), и до настоящего времени указанная проблема остается открытой, несмотря на попытки огромного числа исследователей по данной проблеме аналитической теплофизики. В настоящей статье развивается метод расщепления обобщенного интегрального преобразования Фурье, что позволило получить в конечном счете точное аналитическое решение тепловой задачи при произвольной зависимости h( t) вначале в цилиндрических координатах (радиальный поток теплоты в бесконечной области, ограниченной изнутри цилиндрической полостью), а затем в декартовых (полупространство, ограниченное плоской поверхностью). Полученные результаты составляют научную новизну работы.

12 0

New Analytical Solutions of Mathematical Models of Heat Shock of Local Non-Equilibrium Heat Transfer

Issue number 6 from 14.09.2025

Статья посвящена практически новым модельным представлениям локально-неравновесного теплопереноса в терминах нестационарной теплопроводности для уравнений гиперболического типа (волновых уравнений), а также динамическим моделям теплового удара на основе волновых уравнений. Приведенные в статье результаты практически открывают самостоятельное научное направление в аналитической теплофизике и в теории теплового удара, а именно: исследование термической реакции твердых тел канонической формы конечных размеров на интенсивный нагрев и охлаждение в условиях локально-неравновесного процесса теплообмена. Указанное направление потребовало развитие специального аппарата операционного исчисления ввиду появления в аналитических решениях модельных задач в пространстве изображений по Лапласу нестандартных операционных изображений, оригиналы которых неизвестны и отсутствуют в справочниках по операционному исчислению. Приведенные изображения являются характерными для операционных решений широкого класса обобщенных краевых задач для уравнений гиперболического типа в теории теплопроводности, диффузии, гидродинамики, колебаний, распространении электричества, термомеханики и других направлений науки и техники. Приведены иллюстративные примеры аналитических решений конкретных модельных задач локально-неравновесного теплообмена и теории теплового удара для конечной области как в классической, так и в обобщенной постановках (последнее с учетом конечной скорости распространения теплоты). Выявлены характерные особенности функциональных конструкций в качестве аналитических решений рассмотренных математических моделей.

10 0

Model representations of the theory of thermal shock of viscoelastic bodies

Issue number 5 from 14.09.2025

Рассмотрены модельные представления теории теплового удара вязкоупругих тел на основе двух различных подходов. В первом подходе, основанном на введении девиаторов напряжения и деформации с использованием линейных реологических моделей Максвелла и Кельвина, предлагаются новые интегральные и дифференциальные соотношения, включающие одновременно динамические и квазистатические модели для вязкоупругих и упругих сред, обобщающие результаты предыдущих исследований. Предложенные определяющие соотношения новой формы применимы для описания тепловой реакции тел канонической формы, ограниченных границами прямолинейной формы в декартовых координатах, и распространены на случай криволинейных границ в цилиндрических и сферических координатах. Во втором подходе описана упруго-вязкоупругая аналогия, состоящая в том, что исходная задача о температурных напряжениях вязкоупругого тела может быть сведена к эквивалентной задаче термоупругости путем замены в операционном (по Лапласу) решении термоупругой задачи модуля сдвига и коэффициента Пуассона на их изображения как в модели Максвелла, так и в модели Кельвина. Показано, что после выполнения обратного преобразования находится аналитическое решение задачи для термовязкоупругой среды. Приведен иллюстративный пример и проанализированы отличия в термической реакции на внезапный нагрев упругой и вязкоупругой среды.

11 0